Trois intégrales d'un coup

Le but de l'exercice est de calculer les intégrales $I$ ,   $J$ et  $K$   définies par :
$I={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}\text{ d}x}$   ;  $J={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}\text{ d}x}$   et  $K={\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{x^2+1}\text{ d}x}$ .

1. Soit  $F$ la fonction définie sur  $\mathbb{R}$  par $F(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ .
    a. Démontrer que la fonction  $F$ est une primitive sur  $\mathbb{R}$ de $f:x⟼{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$ .
    b. En déduire la valeur de $I$ .

2. Sans chercher à calculer explicitement  $J$ et  $K$ , vérifier que  $J+I=K$ .

3. Soit  $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$  par $g(x)=x\sqrt{x^2+1}$ .
    a. Déterminer $g^{\prime }(x)$ .
    b. En déduire la valeur de $K+J$ .

4. En déduire les valeurs de  $J$ et de $K$ .